Physique – Détermination de la constante de temps Tau par la tangente à l’origine en radioactivité

Dans le cadre du grand oral du baccalauréat, je me suis interrogé sur la détermination de Tau, notamment en radioactivité et par la méthode de la tangente à l’origine. Dans l’objectif de montrer pourquoi cette méthode fonctionne, j’ai établi une réflexion à partir de mes connaissances pour proposer une démonstration.

On connait que dN/dt = -λ * N(t)

On a une équation différentielle de forme y’ = a*y avec y = N(t) et a = -λ

D’après les propriétés sur les équations différentielles, on peut écrire que y = C * eax

C est une constante et appliqué à notre cas on a : N(t) = C * e-λt

N(0) = C * e-λ*0 = C * e0 = C * 1 = C

Donc N(t) = N(0) * e-λt

Or on sait que l’équation de la tangente en un point a de la fonction f est :

y = f'(a)(x-a) + f(a)

Donc dans notre cas on a :

N'(t) = -N(0)*λ*e-λt
⇒ N'(0) = -N(0)*λ*e-λ*0= -N(0)*λ*e0 = -N(0)*λ*1 = -N(0) * λ

On cherche l’équation de la tangente à t = 0 :

y = N'(0)(t – 0) + N(0) = -N(0) * λ * t + N(0) = N(0) * (1 – λt)

Or λ = 1/τ donc y = N(0) * (1 – t/τ)

On cherche la valeur de t quand y = 0, puisque d’après la méthode de la tangente à l’origine, Tau est déterminé par la point d’intersection entre la tangente à l’origine et l’axe des abscisses.

Donc y = 0 = N(0) * (1 – t/τ)
⇒ 1 – t/τ = 0 car N(0) > 0
⇒ t/τ = 1
⇒ t = τ

On vient bien de démontrer que la tangente à l’origine croise l’axe des abscisses en un point t qui est égal à Tau.

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1 réponse

  1. juillet 6, 2021

    […] Étudions dans un second temps une méthode qui consiste à utiliser la tangente à l’origine. La tangente à l’origine est une droite qui passe par la valeur d’origine, N0 dans notre situation, et qui longe la courbe à proximité de cette valeur. La méthode consiste à tracer la tangente à l’origine, de façon approximative puisque cela s’effectue sur un graphique. La tangente à l’origine croise alors l’axe des abscisses en un point t qui est égal à la constante de temps. Utilisons les mathématiques pour démontrer cette méthode.Voir la démonstration de cette méthode sur mon blog […]

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