En quoi les propriétés de la fonction exponentielle permettent de déterminer la constante de temps en physique ?

Lors de la datation d’un ossement, au Carbonne 14 par exemple, on utilise le nombre de noyaux radioactifs présents sur celui-ci, parce-que ce nombre décroît en fonction du temps et est modélisable par une fonction exponentielle. La fonction exponentielle intervient en physique, et notamment en radioactivité. Elle introduit une constante de temps que l’on appelle Tau (τ). Cette constante caractérise la rapidité d’évolution d’un phénomène physique. Alors, nous sommes amené à nous interroger sur la manière de déterminer la constante de temps. C’est pourquoi je nous propose d’étudier en quoi les propriétés de la fonction exponentielle permettent de déterminer Tau. Je vais utiliser le cadre de la Radioactivité pour appliquer des formules mathématiques.

Étudions dans un premier temps une méthode qui consiste à utiliser le nombre de noyaux radioactifs initial. On connait une formule qui nous indique que la dérivée du nombre de noyaux radioactifs en fonction du temps est proportionnelle au nombre de noyaux radioactifs lui-même. La dérivée d’une fonction est une seconde fonction qui indique comment la première varie.
On a alors la relation : dN(t)/dt = -λ * N(t)
N(t) est le nombre de noyaux radioactifs en fonction du temps.
λ est une constante de décroissance radioactive.

On a ce que l’on appelle une équation différentielle. C’est une équation dont l’inconnu n’est pas une variable mais une fonction, et qui fait intervenir cette même fonction ainsi que sa dérivée.
Grâce aux propriétés que l’on connait sur les équations différentielles, on est capable de déterminer que N(t) = C * e-λt (e-λt = exponentielle de -λt)
C est une constante à déterminer.
Or N(0) = C * e-λ*0 = C * e0 = C * 1 = C donc C = N(0)
N(0), ou N0, c’est le nombre de noyaux radioactifs à l’état initial.
On a alors la relation : N(t) = N0*e-λt
Or, on connait que τ = 1/λ ce qui implique que λ = 1/τ. On peut remplacer λ dans l’expression de N(t), ce qui nous donne :
N(t) = N0*e-t/τ
Étudions le nombre de noyaux radioactifs lorsque t = τ :
On calcule N(τ) = N0*e-τ/τ = N0*e-1
Or, l’exponentielle de -1 est approximativement égal à 0.37.
Donc, N(τ) ≈ 0.37 * N0 ce qui veut dire concrètement que le nombre de noyaux radioactifs lorsque t est égal à la constante de temps est égal à 37% du nombre de noyaux radioactifs initial.
On a alors une première méthode qui consiste à trouver le temps pour lequel on a 37% du nombre de noyaux radioactifs initial.

Étudions dans un second temps une méthode qui consiste à utiliser la tangente à l’origine. La tangente à l’origine est une droite qui passe par la valeur d’origine, N0 dans notre situation, et qui longe la courbe à proximité de cette valeur. La méthode consiste à tracer la tangente à l’origine, de façon approximative puisque cela s’effectue sur un graphique. La tangente à l’origine croise alors l’axe des abscisses en un point t qui est égal à la constante de temps. Utilisons les mathématiques pour démontrer cette méthode.
Voir la démonstration de cette méthode sur mon blog


Finalement, les propriétés de la fonction exponentielle nous permettent de déterminer deux méthodes pour trouver Tau : une première qui consiste à trouver le temps pour lequel on a 37% du nombre de noyau initial, puis une seconde qui consiste à trouver le point d’intersection entre la tangente à l’origine de la courbe et l’axe des abscisses. D’ailleurs on peut en déduire que la première méthode est plus précise puisque le tracé de la deuxième est approximatif.

Cet article reprend la problématique que j’ai traitée lors de mon grand oral du Baccalauréat. Les démonstrations sont issues d’une réflexion que j’ai mené seul, aux moyens de ma connaissance des cours de mathématiques et de physique. J’ai obtenu une note de 20/20.