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En quoi les propriétés de la fonction exponentielle permettent de déterminer la constante de temps en physique ?

Lors de la datation d’un ossement, au Carbonne 14 par exemple, on utilise le nombre de noyaux radioactifs présents sur celui-ci, parce-que ce nombre décroît en fonction du temps et est modélisable par une fonction exponentielle. La fonction exponentielle intervient en physique, et notamment en radioactivité. Elle introduit une constante de temps que l’on appelle Tau (τ). Cette constante caractérise la rapidité d’évolution d’un phénomène physique. Alors, nous sommes amené à nous interroger sur la manière de déterminer la constante de temps. C’est pourquoi je nous propose d’étudier en quoi les propriétés de la fonction exponentielle permettent de déterminer Tau. Je vais utiliser le cadre de la Radioactivité pour appliquer des formules mathématiques.

Étudions dans un premier temps une méthode qui consiste à utiliser le nombre de noyaux radioactifs initial. On connait une formule qui nous indique que la dérivée du nombre de noyaux radioactifs en fonction du temps est proportionnelle au nombre de noyaux radioactifs lui-même. La dérivée d’une fonction est une seconde fonction qui indique comment la première varie.
On a alors la relation : dN(t)/dt = -λ * N(t)
N(t) est le nombre de noyaux radioactifs en fonction du temps.
λ est une constante de décroissance radioactive.

On a ce que l’on appelle une équation différentielle. C’est une équation dont l’inconnu n’est pas une variable mais une fonction, et qui fait intervenir cette même fonction ainsi que sa dérivée.
Grâce aux propriétés que l’on connait sur les équations différentielles, on est capable de déterminer que N(t) = C * e-λt (e-λt = exponentielle de -λt)
C est une constante à déterminer.
Or N(0) = C * e-λ*0 = C * e0 = C * 1 = C donc C = N(0)
N(0), ou N0, c’est le nombre de noyaux radioactifs à l’état initial.
On a alors la relation : N(t) = N0*e-λt
Or, on connait que τ = 1/λ ce qui implique que λ = 1/τ. On peut remplacer λ dans l’expression de N(t), ce qui nous donne :
N(t) = N0*e-t/τ
Étudions le nombre de noyaux radioactifs lorsque t = τ :
On calcule N(τ) = N0*e-τ/τ = N0*e-1
Or, l’exponentielle de -1 est approximativement égal à 0.37.
Donc, N(τ) ≈ 0.37 * N0 ce qui veut dire concrètement que le nombre de noyaux radioactifs lorsque t est égal à la constante de temps est égal à 37% du nombre de noyaux radioactifs initial.
On a alors une première méthode qui consiste à trouver le temps pour lequel on a 37% du nombre de noyaux radioactifs initial.

Étudions dans un second temps une méthode qui consiste à utiliser la tangente à l’origine. La tangente à l’origine est une droite qui passe par la valeur d’origine, N0 dans notre situation, et qui longe la courbe à proximité de cette valeur. La méthode consiste à tracer la tangente à l’origine, de façon approximative puisque cela s’effectue sur un graphique. La tangente à l’origine croise alors l’axe des abscisses en un point t qui est égal à la constante de temps. Utilisons les mathématiques pour démontrer cette méthode.
Voir la démonstration de cette méthode sur mon blog


Finalement, les propriétés de la fonction exponentielle nous permettent de déterminer deux méthodes pour trouver Tau : une première qui consiste à trouver le temps pour lequel on a 37% du nombre de noyau initial, puis une seconde qui consiste à trouver le point d’intersection entre la tangente à l’origine de la courbe et l’axe des abscisses. D’ailleurs on peut en déduire que la première méthode est plus précise puisque le tracé de la deuxième est approximatif.

Cet article reprend la problématique que j’ai traitée lors de mon grand oral du Baccalauréat. Les démonstrations sont issues d’une réflexion que j’ai mené seul, aux moyens de ma connaissance des cours de mathématiques et de physique. J’ai obtenu une note de 20/20.

Physique – Détermination de la constante de temps Tau par la tangente à l’origine en radioactivité

Dans le cadre du grand oral du baccalauréat, je me suis interrogé sur la détermination de Tau, notamment en radioactivité et par la méthode de la tangente à l’origine. Dans l’objectif de montrer pourquoi cette méthode fonctionne, j’ai établi une réflexion à partir de mes connaissances pour proposer une démonstration.

On connait que dN/dt = -λ * N(t)

On a une équation différentielle de forme y’ = a*y avec y = N(t) et a = -λ

D’après les propriétés sur les équations différentielles, on peut écrire que y = C * eax

C est une constante et appliqué à notre cas on a : N(t) = C * e-λt

N(0) = C * e-λ*0 = C * e0 = C * 1 = C

Donc N(t) = N(0) * e-λt

Or on sait que l’équation de la tangente en un point a de la fonction f est :

y = f'(a)(x-a) + f(a)

Donc dans notre cas on a :

N'(t) = -N(0)*λ*e-λt
⇒ N'(0) = -N(0)*λ*e-λ*0= -N(0)*λ*e0 = -N(0)*λ*1 = -N(0) * λ

On cherche l’équation de la tangente à t = 0 :

y = N'(0)(t – 0) + N(0) = -N(0) * λ * t + N(0) = N(0) * (1 – λt)

Or λ = 1/τ donc y = N(0) * (1 – t/τ)

On cherche la valeur de t quand y = 0, puisque d’après la méthode de la tangente à l’origine, Tau est déterminé par la point d’intersection entre la tangente à l’origine et l’axe des abscisses.

Donc y = 0 = N(0) * (1 – t/τ)
⇒ 1 – t/τ = 0 car N(0) > 0
⇒ t/τ = 1
⇒ t = τ

On vient bien de démontrer que la tangente à l’origine croise l’axe des abscisses en un point t qui est égal à Tau.

Fondation de Pianiste Radio

La musique des époques classique et baroque concilie complexité et harmonie qui contribuent à une grande richesse. Des œuvres tout à fait magnifiques sont pourtant oubliées au fur et à mesure que les générations évoluent, et la musique populaire récente prend toute la place dans la culture actuelle. J’ai alors fondé Pianiste Radio, une webradio de musiques classiques, baroques et romantiques.

L’objectif de Pianiste Radio

Pianiste Radio diffuse de la musique des époques classique, romantique et baroque jouée au piano. Parmi les œuvres riches et remarquables du XVIIe au XIXe siècle, je sélectionne des morceaux agréables et harmonieux, à la portée d’une large audience.

Les plus initiés se plairont à découvrir le répertoire musical de Chopin, Beethoven, et tous les célèbres compositeurs qui ont marqués leur époque. Avec eux, les moins initiés apprécieront des moments de douceur, de calme et d’harmonie pour se concentrer, écouter de la belle musique, se détendre, ou combler le silence par une ambiance musicale riche.

La mission de Pianiste Radio consiste à réunir une large communauté, initiée ou non, par la passion, le partage, autour de la musique classique, romantique et baroque. Ainsi je souhaite développer l’accès à ces répertoires artistiques riches qui ne doivent être oubliés et qui, malgré les années, ne cessent de séduire chacun de nous.

Mon investissement dans Pianiste Radio

Dans le cadre de la fondation du projet, j’ai développé l’intégralité du site web en utilisant le HTML, le CSS, le Javascript, le SQL et le PHP. J’assure la gestion intégrale de la webradio, cela comprend la programmation musicale, la rédaction des textes et la communication.

D’un point de vue légal

Pianiste Radio ne pose aucun problème en ce qui concerne le droit de la propriété intellectuelle. Les morceaux datent de plus de 70 ans et sont alors considérés comme appartenant au domaine public. Les interprétations sont des enregistrements libres d’utilisation, téléchargés légalement depuis Musopen. Le site web de Pianiste Radio se soumet à la réglementation RGPD et présente la politique de confidentialité ainsi que les mentions légales obligatoires.

D’un point de vue personnel

Pianiste Radio me permet de m’épanouir dans ma passion musicale que je peux partager et faire découvrir. Le projet contribue à me faire acquérir des compétences diverses, par exemple, grâce à la pratique du développement web. Aussi, j’enrichis ma culture artistique puisque je m’ouvre à la découverte de nouvelles œuvres, de nouveaux compositeurs. J’ai la chance, dans le cadre de Pianiste Radio, de côtoyer des passionnés qui me font part de leurs connaissances relatives à la musique. J’ai notamment pu échanger un peu, sur Messenger, avec François Camille Rossé qui m’a fait part d’une réflexion sur l’improvisation dans la musique classique, romantique et baroque.

Mini projet Pong de NSI

Bonjour,

Dans le cadre d’un projet en classe de Numérique et Sciences Informatiques en première, j’ai développé un jeu Pong en Python. Le programme réagit à l’utilisation des flèches du clavier d’ordinateur et déplace alors la raquette. L’utilisation de la touche MAJ engendre un plus grand déplacement. Les points s’accumulent, la vitesse augmente raisonnablement. Lorsque l’utilisateur perd, un dossier est créé dans une instance FTP. Ce dossier porte pour nom le nombre de points accumulés par l’utilisateur.

J’ai développé une page web en HTML qui, à l’aide d’un petit script PHP, affiche le meilleur score atteint. Pour cela, le script PHP consulte les différents scores enregistrés sur le FTP et sélectionne le meilleur pour l’afficher.